無線従事者のための物理学-電位-

今回は電位について記載する。1陸技の参考書だと電界中の電位が持つエネルギーですと淡泊に書かれていることが多い。もう少し丁寧に説明をしてみたいと思う。

前回の予告でコンデンサについても書くと書いていたが、Maxwell方程式の残りの2本（Ampereの法則とFaradayの法則）を使って、定性的なダイポールアンテナの話に持っていきたいので別途まとめたいと思う。

この記事で扱う事

電位
電位から電界を求める
まとめ
次回予告
参考文献

電位

電界中の電荷のエネルギーと言ってしまえばそれで終わりなのだがもう少し丁寧に計算する。

電場 $\vec{E}$ 中に電荷 $q$ があるとして、これを超ゆっくり動かそう。超ゆっくりと言っているのは電荷の運動に伴って磁場や電磁波が発生しないようにという意味である。

このように動かすとき電荷 $q$ にかかる力 $\vec{F}=q\vec{E}$ に釣り合うように同じだけ逆方向に力をかける。微小変位 $d\vec{s}$ 動かすのに必要な仕事 $dW$ は以下のように表せる。

$dW=\vec{F}\cdot d\vec{s}=q\vec{E}d\cdot\vec{s}$

点A( $\vec{r}_A$ )から点B( $\vec{r}_B$ )に経路Cに沿って動かす仕事 $W$ は

$W=q\int^B_{A,C}\vec{E}\cdot d\vec{s}$

この積分はCに沿って $\vec{F}$ を足し上げる線積分という。

実際計算してみると一様電界 $\vec{E}$ の下では $W=q\vec{E}\cdot (\vec{r}_A-\vec{r}_B)$ となる。

原点にある点電荷 $Q$ が作る電界の時は以下のようになる。

位置 $\vec{r}$ での電界は $\vec{E}(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}}{r^3}$ である。経路C上の微小ベクトル $d\vec{s}$ 変位したとすると

$\vec{E}(\vec{r})\cdot d\vec{s}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\frac{\vec{r}\cdot d\vec{s}}{r^3}$

$\vec{r}\cdot d\vec{s}=rds\cos\theta=rdr$ で $dr=ds\cos\theta$ は $\vec{r}$ 方向の微小な長さである。

$\int^B_{A,C}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0}\int^{r_B}_{r_A}=\frac{Q}{4\pi \epsilon}(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B})$

上の2例を見てもわかるようにAとBの位置だけできまり、経路によらず同じ値になる。

この式で基準Bが無限遠点にあるとすると $\frac{1}{r_B}=0$ となる。

無限遠点を基準として $\phi(\vec{r})=\frac{Q}{4\pi \epsilon}\frac{1}{r}$ と書くと

$\int^B_{A,C}\vec{E}\cdot d\vec{s}=\phi(\vec{r}_A)-\phi(\vec{r}_B)\ \ \ \ \ (1)$

となる。これを電位または静電ポテンシャルという。

f:id:jr2kcb:20200626235335p:plain — 図1 各点の位置関係

電位から電界を求める

(1)式において $\vec{r}_A=\vec{r},\vec{r}_B=\vec{r}+d\vec{s}$ として2点が微小ベクトル $d\vec{s}$ だけ離れた位置にあるとして $d\phi(\vec{r}) \equiv \phi(\vec{r}+d\vec{s})-\phi(\vec{r})$ とおくと

$\vec{E}\cdot d\vec{s}=-d\phi(\vec{r})$ となる。

前章の $dr$ を使うと $E(\vec{r})=-\frac{d\phi(\vec{r})}{dr}$ となる。

まとめ

今回は真面目に仕事を考えて電位を導出した。

間違い・コメント等あれば指摘していただければ幸いである。

参考文献

今回の出題範囲

第一級陸上無線技術士試験やさしく学ぶ無線工学の基礎(改訂2版)

Amazonで見る楽天市場で見る Yahoo!ショッピングで見る

電磁気学をちゃんと学びたい人向け

理論電磁気学

Amazonで見る楽天市場で見る Yahoo!ショッピングで見る

上の難易度が高い人

よくわかる電磁気学

Amazonで見る楽天市場で見る Yahoo!ショッピングで見る

電磁気学―初めて学ぶ人のために

Amazonで見る楽天市場で見る Yahoo!ショッピングで見る

次回予告

次回はAmpereの法則について解説しようと思う。

前回

無線従事者のための物理学-Gaussの法則の微分形の導出-

この記事で扱う事積分形の復習と一般化 Gaussの定理 Gaussの法則の微分形磁界でも同じまとめ次回予告参考文献積分形の復習と一般化前回は点電荷が作る電界からGaussの法則を導出した。まず、閉局面S内の点電荷が多数あり、それら...

次回

無線従事者のための物理学-Ampereの法則とBiot–Savartの法則-

今回はアンペア(Ampere、アンペール)の法則とビオ・サバ―ルの法則について扱います。（記事内では無線従事者使われる呼び方に準拠してアンペアの法則、ビオ・サバ―ルの法則と記載する。）アンペアは電流の単位のアンペアの由来となった人物です。ま...

本シリーズについて

無線従事者のための物理学-本シリーズの立ち位置と今後の方針-

書き始めの動機今後不定期で無線従事者資格で扱われる技術的なトピックについての解説記事をシリーズ書いていこうと考えている。私自身第一級陸上無線技術士を持っているが、この受験の時はかなり苦労した経験がある。合格するだけなら過去問を数年分解けば出...

勉強法

第一級陸上無線技術士の勉強法とおすすめ参考書

第一級陸上無線技術士を受けようと思ったけど何からどうやって勉強すればいいのか分からない。そんな人も多いのではないでしょうか？第一級陸上無線技術士に限らず別の無線従事者や技術系の資格を取りたいと思う目的もいろいろだと思います。無線工学や法規に...