無線従事者のための物理学-Gaussの法則の微分形の導出-

この記事で扱う事

 積分形の復習と一般化

前回は点電荷が作る電界からGaussの法則を導出した。

まず、閉局面S内の点電荷が多数あり、それらが作る電場を考えよう。

閉局面S内の点電荷Q_1(\vec{x}_1),Q_2(\vec{x}_2)\cdotsとしてそれらが\vec{x}に作る電界を\vec{E}^{(1)}(\vec{x}),\vec{E}^{(2)}(\vec{x})とする。

閉局面内の全ての電荷\vec{x}に作る電界は\vec{E}(\vec{x})=\sum_{i} \vec{E}^{(i)}(\vec{x})で表せる。

それぞれの電荷に対して、Gaussの法則が成り立つから

$$
\oint_S \vec{E}(\vec{x}) \cdot \vec{n}(\vec{x})dS=\sum_{i}\oint_S \vec{E}^{(1)}(\vec{x}) \cdot \vec{n}(\vec{x})dS=\frac{1}{\epsilon_0}\sum_{i=S内部}Q_i=\frac{1}{\epsilon_0}(S内の全電荷)
$$
となる。

電荷が連続分布しているとすれば

\oint_S \vec{E}(\vec{x}) \cdot \vec{n}(\vec{x})dS=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho(\vec{x})d^3x

Gaussの定理

これはGaussの発散定理とも呼ばれている。Gaussの法則とは別物なので注意してほしい。Gaussの法則はこれまで見てきたようにCoulombの法則から導かれ、大本は実験事実である。

上述の積分形の左辺にGaussの定理を適用すれば一瞬で微分形が導出できる。

結論から述べよう。ベクトル場\vec{A}に対して、以下の式が成り立つ。

\oint_S\vec{A}\cdot\vec{n}dS=\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{A}d^3x

左辺はGaussの法則の積分形と同じ形で閉局面Sを垂直に貫くベクトル場\vec{A}の合計である。

右辺について考えよう。

\vec{\nabla}\cdot\vec{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}

これにd^3x=dxdydzという微小体積をかけたものを全領域で足し上げているわけである。

\frac{\partial A_x}{\partial x}dxdydzは微小な直方体のyz面にx方向から入ったベクトルが直方体から抜けたときどれくらい変化したかを表す。

閉局面Sで囲まれている空間にこの微小直方体に詰め込んで足し上げることを考えれば内側の分は相殺されて表面だけ残るから

\oint_S\vec{A}\cdot\vec{n}dS=\int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{A}d^3x

が成り立つことになる。

直感的な説明だがこのようにGaussの定理が示される。

Gaussの法則の微分形

積分形にGaussの定理を適用すれば

\int_V \vec{\nabla}\cdot\vec{E}(\vec{x})d^3x=\frac{1}{\epsilon_0}\int_V\rho(\vec{x})d^3x

となる。V全体について考える必要はないので

 \vec{\nabla}\cdot\vec{E}(\vec{x})=\frac{1}{\epsilon_0}\rho(\vec{x})

となる。

電束密度で書けば

 \vec{\nabla}\cdot\vec{D}(\vec{x})=\rho(\vec{x})

となり、すっきりする。

磁界でも同じ

磁力についてもCoulombの法則が成り立つ。すなわち電界と同じ議論で磁界についてのGaussの法則が成り立つ。

ただし、磁石のS極とN極は分けることができないので、磁力線は沸き出しても元の場所に戻る。このため磁界に関するGaussの法則は

 \vec{\nabla}\cdot\vec{B}(\vec{x})=0

となる。

まとめ

今回はGaussの法則の微分形を導出しMaxwell方程式の2/4を導出した。

間違い・コメント等あれば指摘していただければ幸いである。

参考文献

今回の出題範囲


電磁気学をちゃんと学びたい人向け


上の難易度が高い人


次回予告

参考としているやさしく学ぶシリーズでは次はコンデンサを扱っているので電位の導入とコンデンサの話を書こうと思う。

前回

無線従事者のための物理学-Coulombの法則とGaussの法則-
無線従事者試験の無線工学の勉強で困っていませんか?本記事では無線従事者試験で出てくる理論についてより詳細に解説します。勉強に行き詰っている方は是非ご覧ください。

次回

無線従事者のための物理学-電位-
今回は電位について記載する。1陸技の参考書だと電界中の電位が持つエネルギーですと淡泊に書かれていることが多い。もう少し丁寧に説明をしてみたいと思う。前回の予告でコンデンサについても書くと書いていたが、Maxwell方程式の残りの2本(A...

本シリーズについて

無線従事者のための物理学-本シリーズの立ち位置と今後の方針-
書き始めの動機今後不定期で無線従事者資格で扱われる技術的なトピックについての解説記事をシリーズ書いていこうと考えている。私自身第一級陸上無線技術士を持っているが、この受験の時はかなり苦労した経験がある。合格するだけなら過去問を数年分解...

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